Movimiento de proyectiles

 

Cualquiera que haya observado una pelota de béisbol en movimiento (o cualquier objeto lanzado al aire) ha observado el movimiento de proyectiles. Esta forma muy común de movimiento es sorprendentemente simple de analizar si se hacen las siguientes dos suposiciones:

 

1.      La aceleración de caída libre, g, es constante en todo el intervalo de movimiento y está dirigida hacia abajo.

2.      El efecto de la resistencia del aire puede ignorarse.

 

Con estas suposiciones, se encuentra que la curva que describe un proyectil, y que se conoce como su trayectoria, siempre es una parábola.

 

Si elegimos un sistema de coordenadas tal que el eje y apunte en dirección vertical y positiva hacia arriba, entonces ay = -g, y ax = 0.

 

Supóngase que en t = 0, un proyectil es lanzado desde la posición inicial dada por el vector (x0, y0) con una velocidad inicial cuya magnitud es v0 y formando un ángulo θ0 con la horizontal. Las ecuaciones para la velocidad y la posición del proyectil para cualquier tiempo t son:

 

                                                            

 

                                                          

 

                                                             

 

                                             

 

En la primera de estas cuatro ecuaciones, se ve que la velocidad horizontal permanece constante debido a que en esa dirección la aceleración es cero. En cambio, la velocidad vertical primeramente es positiva (si el proyectil se lanza hacia arriba) y comienza a disminuir hasta que se hace cero y luego cambia de dirección apuntando hacia abajo. Véase la figura 1, donde se muestra el caso de un proyectil que es lanzado desde el origen con velocidad inicial de 50 m/s y un ángulo de disparo de 60o.

 

Figura 1.

 

Applet para estudiar el movimiento de un proyectil.

 

Si se elimina el tiempo t de las dos últimas ecuaciones se encuentra la ecuación del proyectil en el plano

                                  

 

la cual es válida para  ángulos de disparo en el intervalo . Esta expresión es de la forma y = c + ax + bx2, que representa la ecuación de una parábola. Cuando x0 = y0 = 0 dicha parábola pasa por el origen. Nótese que la trayectoria está completamente especificada si se conocen x0, y0, v0 y θ0.

 

Obsérvese que el movimiento de una partícula en dos dimensiones puede considerarse como la superposición del desplazamiento debido a la velocidad inicial, v0t, y el término, debido a la gravedad. En otras palabras, si no hubiera aceleración gravitacional, la partícula continuaría moviéndose a lo largo de una trayectoria recta en la dirección de v0. En consecuencia, la distancia vertical, a través de la cual la partícula "cae" de la línea de la trayectoria recta, es la misma distancia que recorrería un cuerpo que cae libremente durante el mismo intervalo de tiempo. Véase la figura 2.

 

 Figura 2.

 

Concluimos que el movimiento de proyectiles es la superposición de dos movimientos:

 

·        Un movimiento con velocidad constante en la dirección horizontal y

·        Un movimiento de una partícula que cae libremente en la dirección vertical bajo aceleración constante.

 

Applet para estudiar el movimiento de dos proyectiles.

 

Ejemplo del cazador

 

Un cazador ve que un chango se encuentra a una distancia horizontal xc y una altura yc, medidas desde la posición del cazador. Suponga que el cazador le dispara al chango una flecha con una velocidad inicial a un cierto ángulo. ¿Cuál es el valor mínimo de la velocidad inicial de la flecha y el valor del ángulo de disparo para que el cazador de en el blanco?

 

Respuesta: Para obtener el ángulo de disparo es necesario utilizar la ecuación (1.5). Considerando que x0 = y0 = 0, y que la flecha tiene que pasar por la posición donde se localiza el chango (xc, yc) la ecuación para obtener el ángulo de disparo es

 

                                                       

 

La solución de esta ecuación nos permite calcular el ángulo de disparo. Escribiendo la ecuación anterior de la siguiente manera

 

 

se encuentra que tiene la forma  y la solución se obtiene mediante la fórmula . Utilizándola, se obtiene

 

                                                 

 

 

Cuando el discriminante de esta última ecuación se iguala a cero, se obtiene el valor mínimo de la velocidad del proyectil. Haciéndolo, se obtiene la ecuación para la velocidad

 

                                                               

 

Utilizando la misma fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado, se obtiene que. La solución que se apega a la situación de los proyectiles es la asociada al signo positivo y entonces la velocidad mínima del proyectil es

 

 

                                                             

 

Combinando la ecuación (1.9) y la ecuación (1.7), se encuentra que el ángulo de disparo asociado a la velocidad mínima del proyectil esta dado por

 

                                                         

 

Por ejemplo, si el chango se ubica en la posición (50, 5) m, la velocidad mínima que se obtiene de la ecuación (1.9) es v0 = 23.28 m/s y el ángulo de disparo que se obtiene de la ecuación (1.10) es θ0 = 47.85o. Si la velocidad de disparo es menor que 23.28 m/s, independientemente del ángulo de disparo, la flecha nunca dará en el blanco. Si se escoge v0 = 50 m/s,  los ángulos de disparo que se obtienen utilizando la ecuación (1.7) son θ1 = 84.28o y θ2 = 11.52o. En la figura 3 se muestran las tres trayectorias que, desde luego, pasan por el punto (50, 5) m.

Figura 3.

 

Applet del proyectil y el blanco fijo.

 

Ejemplo del chango y el cazador

 

Un cazador ve que un chango se encuentra a una distancia horizontal xc y una altura yc, medidas desde la posición del cazador. Suponga que el cazador le dispara al chango una flecha con cierta velocidad inicial a un cierto ángulo. En el momento en que el cazador dispara, el chango se deja caer. ¿Cuál es el valor mínimo de la velocidad inicial de la flecha y el valor del ángulo de disparo para que el cazador de en el blanco?

 

Respuesta: La posición del chango esta descrita por las ecuaciones (1.3) y (1.4) con v0 = 0. Es decir, x(t) = xc y y(t) = yc – gt2/2.  El tiempo de caída del chango es

 

 

El movimiento de la flecha se puede describir con las ecuaciones

 

 

 

Durante el tiempo de caída del chango, la flecha tiene que recorrer la distancia  por lo que la velocidad mínima de la flecha para que haga contacto con el chango es

Sustituyendo , se obtiene

 

Ángulo de disparo de la flecha

 

Para que la flecha haga blanco en el chango a media altura, la magnitud de la velocidad debe ser

 

 

y el ángulo de disparo debe de ser el mismo.

 

Applet del chango y el cazador

 

Altura máxima y alcance horizontal de un proyectil

 

Supóngase ahora que un proyectil se lanza desde el punto (x0, y0) en t = 0 con una componente vertical, vy, positiva, como se muestra en la figura 4.

 

Figura 4.

 

Primeramente, nótese que, en el punto de altura máxima, la componente vertical de la velocidad vy = 0. En consecuencia, igualando a cero la ecuación (1.2) se obtiene el tiempo que tarda el proyectil para llegar a su altura máxima

 

                                                                         

                                                                         

Sustituyendo esta expresión para th en la ecuación (1.4), se obtiene una expresión para calcular la altura máxima que alcanza el proyectil

 

y tomando y(th) = h, se obtiene la expresión de la altura máxima del proyectil en función de la velocidad inicial y el ángulo de disparo

  

                                                                 

 

El alcance, R, es la distancia horizontal recorrida por el proyectil desde que es lanzado. Para calcular R es necesario conocer el tiempo que tarda el proyectil en el aire, hasta caer. Para calcular el tiempo de vuelo, la ecuación (1.4) se iguala a cero y al resolver la ecuación cuadrática para el tiempo t se obtienen dos soluciones:

 

                                                 

La solución  positiva, corresponde a cuando el proyectil llega al nivel donde y = 0. La solución negativa, corresponde al instante en que se hubiera lanzado el proyectil desde el nivel donde y = 0, de tal manera que el tiempo que dura el proyectil en el aire es

 

                                                  

 

El alcance es por lo tanto

 

                                 

 

La magnitud de la velocidad con la que el proyectil llega al suelo está dada por

 

 

                                                

 

Cuando y0 = 0, como se muestra en la figura 5, los valores del tiempo en la ecuación (1.13) son t = 0, que corresponde a cuando el proyectil es lanzado y

 

                                                                         

 

que corresponde a cuando el proyectil llega al nivel donde y = 0. En este caso, el alcance R está dado por

 

                                                   

 

Figura 5.

 

ya que  .  La altura máxima la alcanza el proyectil en . Sustituyendo en la ecuación (1.4) se tiene

 

 

Es decir, la altura del proyectil esta dada por

 

                                                                          

 

La figura 6 muestra las trayectorias de un proyectil que se lanza desde el origen con la misma velocidad inicial pero con diferentes ángulos de disparo.

 

Figura 6.

 

Lugar geométrico de los máximos de las trayectorias

 

Una propiedad interesante de las trayectorias parabólicas de los proyectiles es la siguiente. Si se unen los puntos de altura máxima de todas las trayectorias, se encuentra que el lugar geométrico de dichos puntos es una elipse. El lugar geométrico de esta elipse se encuentra utilizando la ecuación (1.19) para la altura máxima y la correspondiente posición horizontal que es la mitad del alcance (R/2). Es decir, las ecuaciones paramétricas de la elipse son

 

 

donde xm = R/2 y ym = h. Utilizando la identidad se obtiene que

Eliminando se obtiene la ecuación que pasa por todos los máximos de las trayectorias

 

                                                                 

donde  y . En la figura 7 se puede observar la elipse que se forma de unir los puntos máximos de un conjunto de proyectiles lanzados desde el punto (50, 100) m a una velocidad inicial de 50 m/s.

 

Applet para observar la elipse, lugar geométrico de la envolvente de los puntos máximos.

 

 

Figura 7.

 

Envolvente de las trayectorias

 

Considere un punto (x, y) donde ocurre una explosión. Los proyectiles que salen de dicha explosión salen disparados en todas direcciones y con diferentes velocidades. Sin embargo si suponemos que todos salen con la misma velocidad inicial pero a diferente ángulo de disparo, se obtiene un conjunto de trayectorias parabólicas que se distribuyen en todo el espacio. En la figura 7 se observa la envolvente para un conjunto de proyectiles lanzados desde el punto (50, 100) m con una velocidad inicial de 50 m/s. En este programa puede ver una simulación de dicho fenómeno y podrá observar que todas las trayectorias también tienen una envolvente descrita por la ecuación

 

                                                                       

 

Esta ecuación se obtiene de igualar a cero el discriminante en la ecuación (1.7).

 

Applet donde se estudia la ocurrencia de una explosión en cualquier punto sobre el nivel del suelo y sus envolventes.

 

Caída libre

 

Cuando el proyectil se lanza verticalmente con una velocidad inicial v0 desde una altura y0 = h, tenemos un proyectil en caída libre. En este caso, la posición horizontal del proyectil permanece constante, y su posición vertical está dada por la ecuación (1.4), que después de tomar en cuenta las condiciones anteriores se reduce a

 

                                                                 

 

El tiempo que dura el proyectil en el aire, que es un caso particular de la ecuación (1.13), esta dado por

 

 

cuando v0 = 0 se reduce a la expresión

 

                                                                             

 

Igualmente, cuando v0 = 0, la magnitud de la velocidad con la que llega al suelo el proyectil se obtiene de la ecuación (1.2) y es

 

 

Reemplazando ta dada por la ecuación (1.16) se obtiene que

 

                                                                             

 

La siguiente tabla agrupa todas las ecuaciones de los proyectiles de las cuales se pueden obtener todos los casos particulares.


 

Ecuaciones asociadas a un proyectil que se dispara desde el punto (x0, y0) con una velocidad inicial v0 y un ángulo θ0

 

Velocidad horizontal

Velocidad vertical

Posición horizontal

 

Posición vertical

Tiempo en el aire

Alcance

Tiempo para llegar a la altura máxima

 

 

 

0

Altura máxima

Velocidad al caer